Beispiel aus der Physik der Thermodynamik

Als spezifisches Beispiel der sinnvollen Anwendung von PhysML, der Physik Markup Language, wurde die Thermostatik gewählt, weil sie

• ein Teil des Fundamentes vieler Gebiete der Physik ist und in der Lehre zum Pflichtkanon der theoretischen Physik gehört,
• mathematisch für viele Gebiete der Physik grundlegende algebraische Objekte enthält (partielle Ableitungen, Potentiale, Hauptsätze),
• einen eng definierten mathematischen Unterraum der Ableitungen und Relationen besitzt, und so einen ersten Probepfad zur Entwicklung einer PhysML und ihrer Kodierung durch OMDoC zu entwickeln erleichtert.

Thermostatische Variable sind Messgrößen, die neben den mechanischen Variablen die thermostatistischen Eigenschaften als Observable beschreiben. Beispiele sind Druck $p$, Temperatur $T$, Entropie $S$, Innere Energie$U$, ...


Potentiale in der Thermostatik sind Funktionen von thermostatischen Variablen, die die vollständige thermostatische Information über ein vorgelegtes System enthalten. Alle thermostatischen messbaren Eigenschaften von beliebigen thermostatischen Observablen müssen sich durch geeignete mathematische partielle Ableitungsoperationen berechnen und so vorhersagen lassen. Ein Beipiel eines thermostatischen Potentials¹ist die innere Energie $u:=U/N$ pro Stoffmenge $N$ als Funktion des spezifischen Volumens $v:=V/N$, der spezifischen Entropie $s:=S/N$, also $u(s,v)$.


Besonders einfach zu messen wäre z.B. die spezifische Wärme $c_p(T) := (\partial f/\partial T)_p$ als Funktion der Temperatur bei Festhaltung des Druckes, z.B. also bei normalem Luftdruck im Labor. Die spezifische Wärme ist die Energie, die dem System zugeführt werden muss²


Wie aber berechnet sich $c_p(T)$ aus $u(s,v)$, dem Träger auch dieser Information?


Diese einfachste Aufgabe wurde bereits von Max Planck in seinem grundlegenden Lehrbuch Thermodynamik[[#!planck-1905!#] von 1905 behandelt und dient hier als Beispiel.


Wir nutzen die moderne Notation[#!hilf-suessmann-1972!#] für eine partielle Ableitung, die Urbild, Abbildung und Abbild voneinander trennt:

$$(\partial a/\partial b) {\rm for constant} c =: \partial_b^c a$$

Auf Seite 55 leitet er aus dem totalen Differential

$${\rm d}u := T {\rm d}s + p {\rm d}v$$

also

$$T = \partial_s^v u {\rm und } p = \partial_v^s u$$

und der Kettenregel für partielle Ableitungen für irgendwelche Variablen $a,b,c,g$

$$\partial_a^b c = \partial_g^b * \partial_a^b$$

durch Einsetzen ab

$$c_v (T) = \partial_p^v u * \partial_T^v p \quad .$$

Evaluieren wir nun anhand der Definition des totalen Differentials

$${\rm d} := {\rm d}x \partial_x^y + {\rm d}y \partial_y^x$$

für einen zweidimensionalen thermostatischen Zustandsraum $x,y$ ergibt[#!hilf-suessmann-1972!#] die zweidimensionale Subsitutionsregel für eine Koordinatentransformation $x,y$ zu $a,b$,

$$\partial_x^y = \partial_x^y a \partial_a^b + \partial_x^y b \partial_b^a \quad ,$$

die für Spezialfälle zu den allbekannten Regeln führt, der Substitutionsregel für die abhängige Variable,

$$\partial_x^y = \partial_x^y z \partial_z^y,$$

der Inversionsregel

$$\partial_x^y z \partial_z^y x = 1 \quad ,$$

und der Triangulation

$$\partial_x^y z \partial_z^x y \partial_y^z x = - 1 \quad .$$

Mit dieser Jacobi-Matrizen-Algebra schreiben wir nun die Herleitung von Planck in eleganterer Weise um:

$$\partial_p^v u = c_v \partial_p^v T \\ \partial_v^p u = c_p \partial_v^p T - p$$

Weil die partiellen Ableitungen $\partial_v^p$ and $\partial_p^v$ vertauschen, erhalten wir nach Umstellung der Gleichungsterme und mittels der Identität $\partial_p^v p=1$ chließlich

$$(c_p - c_v) \partial_v^p\partial_p^v T + \partial_p^v c_p \partial_v^p T - \partial_v^p c_v \partial_p^v T = 1 \quad .$$

Diese Identität ist nichts anderes als eine direkte Folge des ersten Hauptsatzes der Thermostatik und kann experimentell geprüft werden, weil nur die beiden spezifischen Wärmen und die Zustandsgleichung $p(T,v)$) eingehen.


Das Schöne ist nun, das mit PhysML geschrieben und in OMDoC kodiert, diese Gleichungen schrittweise automatisch analysiert und gecheckt werden können, weil nur die Algebra der partiellen Ableitungen sowie Addition, Multiplikation eingehen. Ein Proffchecker könnte systematisch alle denkbaren Umformulierungswege in diesem ausserordentlich engen Ausdrucksraum durchspielen und vorschlagen/prüfen. Zugleich ist nur ein relativ sehr minimaler Bereich der Algebra zu kodieren.


Wegen der ungeheuer breiten Anwendung der Thermostatik in zahlreichen technischen Bereichen wird dieses erste Stück von PML wesentlich zur Akzeptanz und Verbreitung beitragen, wenn hierzu ein Editor und ein Gleichungs- und Proofchecker gebaut werden.

Literatur

1. suessmann-hilf-1970
   General Definition of the Perfect Gas Concept
   Authors: G. Suessmann and Eberhard R. Hilf
   File: ebs.GenDefPerfGas.pdf
   Date: 1970
   Article: Pure and Applied Chemistry, Vol. 22, Nos. 3-4, ( 1970 ).
   Abstract: A differential equation of state is presented for a monatomic gas without virial interactions between its particles. Together with suitable boundary conditions this defines a macroscopic concept of the '' perfect '' gas.

2. hilf-suessmann-1972
   Simplified Notation of Partial Derivatives for Use in Thermodynamics
   Authors: Eberhard R. Hilf and G. Suessmann
   Files: ebs.simplified.notation.pdf
   Date: 1972
   Article: unpublished
   Abstract:

   The notation $\partial^a_b*q$ is proposed for the partial derivative $(\partial q /\partial a)_b$. Its usefulness in thermodynamics is demonstrated by deducing the fundamental relations. The Jacobian matrices are interpreted as quotients of multidimensional differentials, called partials. These devices have been applied to higher dimensions.

3. planck-1905
   Thermodynamik
   Max Planck
   Verlag von Veit und Komp. 1905 S.55f Kapitel Anwendungen auf homogene Systeme

4. The concepts of classical thermodynamics
   H. A. Buchdahl
   Cambridge University Press (1966) §80 , p. 165

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latex2html -split 0 beispiel.tex

The translation was initiated by Eberhard R. Hilf on 2005-07-13

Footnotes

... Potentials¹

Wir gehen hier bewusst von der traditionellen Schreibweise zunächst aus.

... muss²

also die innere Energie plus die bei konstantem Druck unvermeidlich entstehende mechanische Ausdehnungsarbeit $p {\rm d}v$,- , dabei ist $u +pv =: f$, die sogenannte freie Energie, ein thermostatisches Potential, aber mit den Variablen $T,v$.