next_inactive up previous


Beispiel aus der Physik der Thermodynamik

Als spezifisches Beispiel der sinnvollen Anwendung von PhysML, der Physik Markup Language, wurde die Thermostatik gewählt, weil sie Thermostatische Variable sind Messgrößen, die neben den mechanischen Variablen die thermostatistischen Eigenschaften als Observable beschreiben. Beispiele sind Druck $p$, Temperatur $T$, Entropie $S$, Innere Energie$U$, ...


Potentiale in der Thermostatik sind Funktionen von thermostatischen Variablen, die die vollständige thermostatische Information über ein vorgelegtes System enthalten. Alle thermostatischen messbaren Eigenschaften von beliebigen thermostatischen Observablen müssen sich durch geeignete mathematische partielle Ableitungsoperationen berechnen und so vorhersagen lassen. Ein Beipiel eines thermostatischen Potentials1ist die innere Energie $u:=U/N$ pro Stoffmenge $N$ als Funktion des spezifischen Volumens $v:=V/N$, der spezifischen Entropie $s:=S/N$, also $u(s,v)$.


Besonders einfach zu messen wäre z.B. die spezifische Wärme $c_p(T) := (\partial f/\partial T)_p$ als Funktion der Temperatur bei Festhaltung des Druckes, z.B. also bei normalem Luftdruck im Labor. Die spezifische Wärme ist die Energie, die dem System zugeführt werden muss2


Wie aber berechnet sich $c_p(T)$ aus $u(s,v)$, dem Träger auch dieser Information?


Diese einfachste Aufgabe wurde bereits von Max Planck in seinem grundlegenden Lehrbuch Thermodynamik[[#!planck-1905!#] von 1905 behandelt und dient hier als Beispiel.


Wir nutzen die moderne Notation[#!hilf-suessmann-1972!#] für eine partielle Ableitung, die Urbild, Abbildung und Abbild voneinander trennt:

\begin{displaymath}
(\partial a/\partial b) {\rm for constant} c =: \partial_b^c a
\end{displaymath}

Auf Seite 55 leitet er aus dem totalen Differential

\begin{displaymath}{\rm d}u := T {\rm d}s + p {\rm d}v
\end{displaymath}

also

\begin{displaymath}T = \partial_s^v u {\rm und } p = \partial_v^s u
\end{displaymath}

und der Kettenregel für partielle Ableitungen für irgendwelche Variablen $a,b,c,g$

\begin{displaymath}
\partial_a^b c = \partial_g^b * \partial_a^b
\end{displaymath}

durch Einsetzen ab

\begin{displaymath}
c_v (T) = \partial_p^v u * \partial_T^v p
\quad .
\end{displaymath}

Evaluieren wir nun anhand der Definition des totalen Differentials

\begin{displaymath}{\rm d} := {\rm d}x \partial_x^y + {\rm d}y \partial_y^x
\end{displaymath}

für einen zweidimensionalen thermostatischen Zustandsraum $x,y$ ergibt[#!hilf-suessmann-1972!#] die zweidimensionale Subsitutionsregel für eine Koordinatentransformation $x,y$ zu $a,b$,

\begin{displaymath}
\partial_x^y = \partial_x^y a \partial_a^b + \partial_x^y b \partial_b^a
\quad ,\end{displaymath}

die für Spezialfälle zu den allbekannten Regeln führt, der Substitutionsregel für die abhängige Variable,

\begin{displaymath}
\partial_x^y = \partial_x^y z \partial_z^y,
\end{displaymath}

der Inversionsregel

\begin{displaymath}
\partial_x^y z \partial_z^y x = 1 \quad ,
\end{displaymath}

und der Triangulation

\begin{displaymath}
\partial_x^y z \partial_z^x y \partial_y^z x = - 1 \quad .
\end{displaymath}

Mit dieser Jacobi-Matrizen-Algebra schreiben wir nun die Herleitung von Planck in eleganterer Weise um:

\begin{displaymath}
\partial_p^v u = c_v \partial_p^v T
\\
\partial_v^p u = c_p \partial_v^p T - p
\end{displaymath}

Weil die partiellen Ableitungen $\partial_v^p$ and $ \partial_p^v$ vertauschen, erhalten wir nach Umstellung der Gleichungsterme und mittels der Identität $\partial_p^v p=1$ chließlich

\begin{displaymath}
(c_p - c_v) \partial_v^p\partial_p^v T + \partial_p^v c_p \partial_v^p T
- \partial_v^p c_v \partial_p^v T = 1 \quad .
\end{displaymath}

Diese Identität ist nichts anderes als eine direkte Folge des ersten Hauptsatzes der Thermostatik und kann experimentell geprüft werden, weil nur die beiden spezifischen Wärmen und die Zustandsgleichung $p(T,v)$) eingehen.


Das Schöne ist nun, das mit PhysML geschrieben und in OMDoC kodiert, diese Gleichungen schrittweise automatisch analysiert und gecheckt werden können, weil nur die Algebra der partiellen Ableitungen sowie Addition, Multiplikation eingehen. Ein Proffchecker könnte systematisch alle denkbaren Umformulierungswege in diesem ausserordentlich engen Ausdrucksraum durchspielen und vorschlagen/prüfen. Zugleich ist nur ein relativ sehr minimaler Bereich der Algebra zu kodieren.


Wegen der ungeheuer breiten Anwendung der Thermostatik in zahlreichen technischen Bereichen wird dieses erste Stück von PML wesentlich zur Akzeptanz und Verbreitung beitragen, wenn hierzu ein Editor und ein Gleichungs- und Proofchecker gebaut werden.

Literatur

  1. suessmann-hilf-1970
    General Definition of the Perfect Gas Concept
    Authors: G. Suessmann and Eberhard R. Hilf
    File: ebs.GenDefPerfGas.pdf
    Date: 1970
    Article: Pure and Applied Chemistry, Vol. 22, Nos. 3-4, ( 1970 ).
    Abstract: A differential equation of state is presented for a monatomic gas without virial interactions between its particles. Together with suitable boundary conditions this defines a macroscopic concept of the '' perfect '' gas.

  2. hilf-suessmann-1972
    Simplified Notation of Partial Derivatives for Use in Thermodynamics
    Authors: Eberhard R. Hilf and G. Suessmann
    Files: ebs.simplified.notation.pdf
    Date: 1972
    Article: unpublished
    Abstract:

    The notation $\partial^a_b*q$ is proposed for the partial derivative $(\partial q /\partial a)_b$. Its usefulness in thermodynamics is demonstrated by deducing the fundamental relations. The Jacobian matrices are interpreted as quotients of multidimensional differentials, called partials. These devices have been applied to higher dimensions.

  3. planck-1905
    Thermodynamik
    Max Planck
    Verlag von Veit und Komp. 1905 S.55f Kapitel Anwendungen auf homogene Systeme

  4. The concepts of classical thermodynamics
    H. A. Buchdahl
    Cambridge University Press (1966) §80 , p. 165

About this document ...

This document was generated using the LaTeX2HTML translator Version 2002-2-1 (1.70)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

The command line arguments were:
latex2html -split 0 beispiel.tex

The translation was initiated by Eberhard R. Hilf on 2005-07-13


Footnotes

... Potentials1
Wir gehen hier bewusst von der traditionellen Schreibweise zunächst aus.
... muss2
also die innere Energie plus die bei konstantem Druck unvermeidlich entstehende mechanische Ausdehnungsarbeit $p {\rm d}v$,- , dabei ist $u +pv =: f$, die sogenannte freie Energie, ein thermostatisches Potential, aber mit den Variablen $T,v$.

next_inactive up previous
Eberhard R. Hilf 2005-07-13