Fermionen und Bosonen

Ein System aus N Teilchen wird durch eine Wellenfunktion beschrieben, die von den N Teilchenkoordinaten abhängt. (Darin sollen auch evtl. innere Freiheitsgrade wie der Spin der Teilchen enthalten sein): $\Psi(\vec{x}_1,\vec{x}_2,\dots,\vec{x}_N)$ Falls die Teilchen identisch sind, so können zwei verschiedene Situationen, in denen nur die ''Numerierung der Teilchen'' anders ist, nicht unterschieden werden. Deshalb gilt $\vert\Psi(\vec{x}_1,\vec{x}_2,\dots,\vec{x}_N)\vert^2 = \vert\Psi(\vec{x}_2,\vec{x}_1,\dots,\vec{x}_N)\vert^2$ Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit einer gegebenen Konfiguration der Teilchen ändert sich nicht, wenn man die Teilchenkoordinaten austauscht. Das heißt nicht, daß die Wellenfunktion selbst bei Vertauschung zweier Teilchenkoordinaten gleich bleibt. Sie kann vielmehr mit einer Zahl vom Betrag 1 (also einer Zahl der Form $e^{i\theta}$ multipliziert werden. Bei nochmaliger Vertauschung ergibt sich wieder der ursprüngliche Wert, so daß man fordern muß: $\left(e^{i\theta}\right)^2 = 1 \Rightarrow % e^{i\theta} = \pm 1$. Teilchen, für die die Wellenfunktion bei Vertauschung zweier Teilchenkoordinaten ihr Vorzeichen wechselt, heißen Fermionen, solche, bei denen der Wert von $\Psi$ unverändert bleibt, Bosonen. Eine beliebige vorgegebene Mehrteilchenwellenfunktion erfüllt diese Forderungen im allgemeinen nicht. Man kann aber zu jeder Wellenfunktion $\Phi$ durch ''Symmetrisieren'' bzw. ''Antisymmetrisieren'' eine bosonische / fermionische Wellenfunktion $\Psi$ konstruieren. Für Fermionen summiert man dazu über alle Vertauschungen (Permutationen) der Teilchenkoordinaten und versieht jeden dieser Summanden mit dem Signum der Permutation als Vorfaktor. Die Größe sign(P) hat den Wert +1, wenn man die durch P angegebene Reihenfolge der Zahlen 1,2,...,N durch eine gerade Anzahl von Vertauschungen in die Standardreihenfolge 1,2,...,N bringen kann, ansonsten ist sign(P) = -1.

$$\Psi(\vec{x}_1,\vec{x}_2,\dots,\vec{x}_N) = \sum_P{sign(P)\Phi(\vec{x}_{P_{(1)}},\vec{x}_{P_{(2)}},\dots,\vec{x}_{P_{(N)}})}$$ (1)

Die so entstandene Wellenfunktion $\Psi$ wechselt ihr Vorzeichen bei Vertauschung beliebiger Teilchenkoordinaten (ist hier aber noch nicht normiert). Für Bosonen muß das sign(P) weggelassen werden. Alle Summanden gehen mit positivem Vorzeichen ein. Wenn eine Basis $\Phi_i$ aus Einteilchenwellenfunktionen gegeben ist, dann kann man eine Basis von Mehrteilchenwellenfunktionen konstruieren, indem man Produkte aus den Einteilchenzuständen bildet: $\Phi_{i1}(\vec{x}_1) \cdot \dots \cdot % \Phi_{iN}(\vec{x}_{N})$ (wobei die Indizes $i_1,\dots,i_N$ alle Einteilchenzustände durchlaufen). Natürlich erfüllen diese Funktionen noch nicht die Symmetrie-/ Antisymmetriebedingungen beim Vertauschen zweier Teilchenkoordinaten. Durch Symmetrisieren kommt man bei Bosonen zu den folgenden Mehrteilchenbasisfunktionen:

$$\Psi_{i1,\dots,iN}(\vec{x}_1,\vec{x}_2,\dots,\vec{x}_N) = \su... ...{i1}(\vec{x}_{P(1)})\cdot\dots\cdot\phi_{iN}(\vec{x}_{P(N)})}$$ (2)

(diese sind hier noch nicht normiert) Es sind dabei die Zustände $i_1,\dots,i_N$ ''besetzt''. Bei Bosonen kann ein Zustand in dieser Liste mehrfach vorkommen. Dagegen würde in solch einem Fall bei Fermionen die antisymmetrisierte Wellenfunktion Null ergeben, weil dann in der Summe z.B. neben $\Phi_i(\vec{r}_1)\cdot\Phi_i(\vec{r}_2)$ auch $-\Phi_i(\vec{r}_2)\cdot\Phi_i(\vec{r}_1)$ steht. In den fermionischen Mehrteilchenbasiszuständen darf demnach ein Zustand höchstens einfach besetzt sein. Diese Basiszustände haben allgemein die Form

$$\Psi_{i1},\dots,{iN}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,\dots,\vec{N}) = % \... ...{i1}(\vec{x}_{P(1)})\cdot\dots\cdot\phi_{iN}(\vec{x}_{P(N)})}$$ (3)

Das entspricht der Definition einer Determinante, die in diesem Fall ''Slater-Determinante'' genannt wird. Für zwei Fermionen in den (Einteilchen-) Zuständen $\Phi_1$ und $\Phi_2$ ist das z.B.

$$det \left\vert \begin{array}{cc} \phi_1(\vec{x}_1) & \phi... ...\phi_2(\vec{x}_2) - \phi_1(\vec{x}_2) \cdot \phi_2(\vec{x}_1)$$ (4)

(Wenn dagegen ein Zustand doppelt besetzt ist, sind zwei Zeilen der Determinante gleich, so daß sie Null ergibt)