Emmy-Noether-Satz

Man habe ein zum Teil entartetes $\hat{H}$-Spektrum. Dann sind Operatoren $\hat{A}_i$, $i=1, \ldots, d$ so wählbar, daß gilt:

$$\left[\hat{H},\hat{A_i}\right]$$ = 0

$$\left[\hat{A_i},\hat{A_j}\right] 0\qquad i,j=1,\ldots ,d$$ =

Dann ist jeder Zustand $\vert E_n,\lambda_1, \ldots ,\lambda_d>$ des gemeinsamen Teils von ${\cal{H}}$ eindeutig gekennzeichnet durch die Eigenwerte $\lambda_1,\ldots ,\lambda_d$. Dazu ein paar Bemerkungen:

1.

$\vert\psi>=\vert E_n,\lambda_1,\ldots ,\lambda_d>=\sum_{n=1}^d c_n\vert E,\lambda_1, \ldots ,\lambda_d>$
Es ist immer möglich, einen physikalischen Eigenzustand zu $\hat{H}$ vollständig durch eine endliche Zahl von verschiedenen Messungen zu charakterisieren. Deshalb handelt es sich also um eine kausale Theorie, in der zur Zeit t₀ die vollständige Information über ein System bekannt ist, so daß man für alle folgenden Zeiten t>t₀ die Zustände voraussagen kann.

2.

Der vollständige Satz von Operatoren $\{\hat{H},\hat{A_1},\ldots,\hat{A_d}\}$ ist nicht eindeutig bestimmt. Es sind andere Sätze von Operatoren $\{\hat{H},\hat{B_1},\ldots ,\hat{B_d}\}$ denkbar, für die die gleichen Bedingungen gelten, wie für die $\hat{A}_i$. Operatoren aus verschiedenen Sätzen kommutieren im Allgemeinen nicht:

$$[\hat{A_i},\hat{B_j}]\neq 0$$

Es gibt im Allgemeinen unendlich viele verschiedene derartige Sätze von Operatoren.

3.

Sind die $\hat{A}_i$ hermitesch ( $\hat{A}=\hat{A^+}$), so stellt $\hat{U}=e^{i\alpha\hat{A_i}}$ eine unitäre Transformation von $\vert\psi>$ um $\alpha$ dar.
Beispiele für verschiedene $\hat{A}$:

• $\hat{P}:\alpha=a$ Translation
• $\hat{l}:\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}$ $\alpha=\phi$ Drehung
• $\hat{\sigma}:\alpha=\phi=\pi$ im Spin-Raum $\vert up>\rightarrow\vert down>$
• $\hat{\tau}:p\rightarrow n$
• $\hat{\tau}:e^-\rightarrow e^+$